Banach-Tarski theorem

Lecturer: Saúl Rodríguez Martín

Date: 06/04/2022

Time: 13:00 CET

Language: Spanish

Place: Room 114

Notes with details

Abstract

The Banach-Tarski paradox claims that a ball is equidecomposable to two balls of the same size, that is, we can divide an open ball into finitely many sets and move each one by an isometry to obtain two balls identical to the original one. Banach and Tarski proved a more general result: any two bounded sets of R3 with non-empty interior are equidecomposable.

This talk will contain proofs of both results, focusing on how we can use a paradoxical decomposition of the free group F2 to obtain a paradoxical decomposition of the ball and indicating how exactly the proof uses the axiom of choice.

Bibliography

Promotional poster

Poster


Resumen

La paradoja de Banach Tarski dice que una bola es equidescomponible a dos bolas de su mismo tamaño, es decir, podemos dividir una bola en finitos conjuntos y moverlos mediante isometrías para obtener dos bolas idénticas a la inicial. Banach y Tarski probaron una generalización de la paradoja: cualesquiera dos subconjuntos acotados y con interior no vacío de R3 son equidescomponibles.

Esta charla contiene pruebas de ambos resultados, centrándose en cómo obtener una descomposición paradójica de la bola a partir de una descomposición paradójica del grupo libre *F2* e indicando cómo se usa el axioma de elección en la demostración.