Introduction to number theory

Lecturer: Jorge Martín

Dates: Every Wednesday from February 23

Time: 15:00 CET

Language: Spanish

Place: Room 117

Course notes.


If math is the queen of sciences, number theory is the queen of math
Carl Friedrich Gauss

In this course we will study, from a superficial and introductory point of view, the basics of number theory.

First sessions will be about the importance of algebraic structures to algebraic number theory, presenting the basis of this field of study: number fields and number rings. From there, we will see the most obvious applications of these: diophantine equations.

Secondly, we will present one of the most interesting and surpising results in elementary number theory: the quadratic reciprocity law. We will try to prove this result in an intuitive way (as a remark, there exists more than 200 completely different proofs for this theorem), though the result is far from being trivial, certainly its consecuences are mindblowing. Thanks to that, we will prove a weaker version of Dirichlet’s Theorem.

This course’s targeted audience will be first, second and third year students in mathematics degree. It will be self-contained, meaning that every result used shall be proved in the easiest way possible, so that anyone with basic math knowledge easily can follow the classes.


  • “Unique factorisation and quadratic fields (MA2316, Second week)”. Vladimir Dotsenko
  • “Prime numbers in arithmetic progressions with difference 24”. P. T. Bateman, M. E. Low
  • “Primes in Certain Arithmetic Progressions”. I. Niven y B. Powell, The American Mathematical Monthly
  • “Démostration arithmétique de l’existence d’une infinité de nombres premiers de la forme nk+1”. A. Rotkiewicz
  • “Prime numbers in certain arithmetic progressions”. M. Ram Murty and Nithum Thain

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Si las matemáticas son la reina de las ciencias, la teoría de los números es la reina de las matemáticas
Carl Friedrich Gauss

En este curso estudiaremos, desde un punto de vista superficial e introductorio, los fundamentos de la teoría de números.

Las primeras sesiones tratarán sobre la importancia de las estructuras algebraicas para la teoría algebraica de números, presentando las bases de este campo de estudio: los campos numéricos y los anillos numéricos. A partir de ahí, veremos las aplicaciones más obvias de estas: ecuaciones diofánticas.

En segundo lugar, presentaremos uno de los resultados más interesantes y sorprendentes de la teoría elemental de números: la ley de reciprocidad cuadrática. Intentaremos demostrar este resultado de forma intuitiva (como comentario, existen más de 200 demostraciones completamente diferentes para este teorema), aunque el resultado dista mucho de ser trivial, ciertamente sus consecuencias son alucinantes. Gracias a eso, probaremos una versión más débil del Teorema de Dirichlet.

Este curso estará enfocado a los estudiantes de primero, segundo y tercer año de la carrera de matemáticas. Será autocontenido, es decir, que cada resultado utilizado se probará de la manera más fácil posible, para que cualquier persona con conocimientos básicos de matemáticas pueda seguir fácilmente las clases.