Coloreando Borsuk-Ulam

Lecturer: Miguel Martínez González

Date: 26/04/2022

Time: 13:00 CET

Language: Spanish

Place: Room 114

Abstract

The Borsuk-Ulam theorem states that every continuous function from an n-sphere into Euclidean n-space maps some pair of antipodal points to the same value.

This result is usually proved in algebraic topology courses using degrees of maps between spheres. However, in this talk we will give a direct proof using Ky-Fan and a coloring argument.

The session is designed so that any undergraduate student can follow it.

El teorema de Borsuk-Ulam nos dice que toda aplicación continua de la n-esfera en el espacio euclídeo de dimensión n debe llevar algún par de puntos antipodales al mismo.

Las demostraciones que se suelen dar de este resultado en un curso académico se basan en estudiar el grado de aplicaciones entre esferas. Sin embargo, en esta charla daremos una prueba elemental usando Ky-Fan y un argumento de coloración.

La sesión está pensada para que cualquier estudiante de la facultad pueda seguirla.

Bibliography

• Borsuk, Karol (1933). “Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre” (PDF). Fundamenta Mathematicae (in German). 20: 177–190. doi:10.4064/fm-20-1-177-190.
• Lyusternik, Lazar; Shnirel’man, Lev (1930). “Topological Methods in Variational Problems”. Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. G. U. Moscow.
• Matoušek, Jiří (2003). Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5.
• Steinlein, H. (1985). “Borsuk’s antipodal theorem and its generalizations and applications: a survey. Méthodes topologiques en analyse non linéaire”. Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.). 95: 166–235.
• Su, Francis Edward (Nov 1997). “Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction” (PDF). The American Mathematical Monthly. 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935. doi:10.2307/2975293. JSTOR 2975293. Archived from the original (PDF) on 2008-10-13. Retrieved 2006-04-21.

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